Libri di Daniele Mundici

Dal 1936 i costi delle procedure meccaniche di calcolo si misurano contando i passi delle macchine di Turing. Costruiremo la macchina di Turing "universale", capace di effettuare tutte le procedure meccaniche di calcolo concepibili fino a oggi. Tale macchina, pur essendo un oggetto puramente matematico come il numero n, si è progressivamente materializzata nel computer. Approfondiremo la distinzione tra procedure abbordabili, come quelle che regolano l'addizione e la moltiplicazione, e procedure di calcolo il cui costo è proibitivo. Individueremo una classe di problemi la cui complessità oggi non ci è nota, e che sono velocemente traducibili l'uno nell'altro. Il prototipo di questi problemi, denominato sat, chiede di decidere se una formula della logica di Boole sia soddisfacibile. Il problema P/NP chiede se SAT possa essere risolto da una macchina di Turing che utilizza un numero di passi polinomiale rispetto alla lunghezza della formula in input. Se tale macchina esistesse, molti problemi importanti nell'industria e nella vita quotidiana sarebbero risolvibili a costi drasticamente ridotti rispetto ai costi attuali. Come vedremo analizzando l'algoritmo di Euclide, l'ignoranza di algoritmi veloci per il problema SAT ha un'applicazione utile nella crittografia a chiave pubblica.

In questo manuale viene data una dimostrazione del teorema di completezza di Godel e di alcune sue conseguenze, utilizzando il teorema di completezza di Robinson e il teorema di compattezza di Godel per la logica di Boole. Il lettore incontrerà qui altre idee chiave della logica: una sintassi non ambigua, la risoluzione, la procedura di Davis-Putnam, la semantica di Tarski, l'equivalenza e la conseguenza logica, i modelli di Herbrand, gli assiomi dell'eguaglianza, le forme normali di Skolem, le refutazioni come oggetti grafici, e la costruzione di alcuni modelli non-standard. I prerequisiti matematici sono minimi: il testo è accessibile a chiunque abbia già visto qualche dimostrazione per induzione. Il manuale può essere usato come sussidiario per un primo corso di Logica Matematica per matematici e per informatici. Parti del testo possono essere di appoggio in un corso di Logica per filosofi e linguisti, soprattutto per i numerosi esercizi, mai troppo difficili, di collegamento tra logica e linguaggio naturale.

In questo manuale viene data una dimostrazione del teorema di completezza di Godel e di alcune sue conseguenze, utilizzando il teorema di completezza di Robinson e il teorema di compattezza di Godel per la logica di Boole. Il lettore incontrerà qui altre idee chiave della logica: una sintassi non ambigua, la risoluzione, la procedura di Davis-Putnam, la semantica di Tarski, l'equivalenza e la conseguenza logica, i modelli di Herbrand, gli assiomi dell'eguaglianza, le forme normali di Skolem, le refutazioni come oggetti grafici, e la costruzione di alcuni modelli non-standard. I prerequisiti matematici sono minimi: il testo è accessibile a chiunque abbia già visto qualche dimostrazione per induzione. Il manuale può essere usato come sussidiario per un primo corso di Logica Matematica per matematici e per informatici. Parti del testo possono essere di appoggio in un corso di Logica per filosofi e linguisti, soprattutto per i numerosi esercizi, mai troppo difficili, di collegamento tra logica e linguaggio naturale.