Libri di Luca Bellotti

Il volume raccoglie i contributi, ampiamente elaborati, presentati al convegno Possibilità al di là della determinazione. Matematica, fisica e filosofia della complessità, tenutosi all’Università di Pisa in memoria di Aldo Giorgio Gargani. Dello studioso scomparso nel 2009 sono ben noti gli interessi filosofici per la questione, nata nella fisica moderna e in altri saperi, dell’emergere – in sistemi complessi – di possibilità che vanno, irriducibilmente, al di là della determinazione. Prefazione di Alfonso Maurizio Iacono.

Questo libro offre un breve e leggibile percorso nella storia dei fondamenti della matematica. A partire dalle origini e soffermandosi su alcuni momenti cruciali nelle vicende storiche della matematica dal punto di vista delle sue problematiche fondazionali, il discorso si concentra poi sugli eventi dei primi trent'anni del Novecento, il periodo più ricco e importante rispetto a tali problematiche, delle quali si mostra il carattere né estrinseco né arbitrario e l'origine in un lungo processo che percorre tutta la storia della matematica. Si presentano le grandi prospettive fondazionali classiche e le loro risposte e proposte di fronte alla crisi di inizio Novecento, per soffermarsi infine sui risultati limitativi degli anni trenta, che costituiscono scoperte matematiche cruciali, alla base di una svolta epocale e della nascita della logica matematica come oggi la conosciamo. Il testo dovrebbe essere accessibile anche a chi non è familiare con l'argomento, evitando un'esposizione troppo tecnica o dettagliata (pur rimandando alle necessarie fonti di approfondimento), mantenendo un tono colloquiale e informale, senza però rinunciare alla precisione indispensabile perché l'esposizione non risulti fuorviante.

Questo lavoro vuole essere una ricognizione di alcune prospettive teoriche nella filosofia della matematica che, pur derivando in parte da posizioni classiche e sempre confrontandosi con esse, sono risultate in qualche misura minoritarie (o addirittura per certi aspetti eccentriche) nel dibattito novecentesco (soprattutto nel contesto della filosofia analitica) e in quello degli ultimi decenni (che ha preso nuove direzioni, più attente all'effettiva pratica dei matematici), ma non per questo sono di minore interesse e impegno teoretico (oltre che storico o descrittivo), anche nel rinnovato (benché forse vano) tentativo di riconoscere la complessità degli sviluppi contemporanei della matematica (che pare sempre più frammentarsi nel disordine di una specializzazione e complicazione irriducibili) senza perderne di vista l'unità necessaria. Si tratta di una breve monografia di ricerca, senza pretese di completezza, che per la sua impostazione non si sovrappone ai pochi testi introduttivi di filosofia della matematica pubblicati negli ultimi decenni e disponibili in italiano, ma dovrebbe comunque risultare leggibile anche a chi abbia interessi epistemologici generali (oltre ad offrire forse qualche motivo di richiamo per gli specialisti), in quanto la presentazione rimane non tecnica e si dà sempre il contesto del dibattito sui problemi via via considerati nelle diverse impostazioni (delle quali si indica la direzione, più che vederne i dettagli, senza sostenerne una come decisamente preferibile).

Questo libro tratta di alcuni argomenti che sono alla base della moderna indagine logica, di grande interesse sia filosofico che matematico: la definibilità, la computabilità, la decidibilità. L'emergenza, negli anni Trenta del Novecento, del concetto di funzione computabile, o calcolabile, ha inaugurato una nuova area della ricerca logico-matematica i cui sviluppi si sono rivelati di notevole importanza per vari ambiti: dalla filosofia (della mente) all'informatica teorica, dalla linguistica ai fondamenti della matematica. I primi due capitoli presentano due fra le più note e importanti precisazioni formali del concetto di computabilità: la D-definibilità (risalente ad A. Church) e la ricorsività (legata in particolare al nome di S. C. Kleene). La nozione di funzione ricorsiva, tuttavia, aveva già svolto un ruolo cruciale nel procedimento con cui Gödel era pervenuto nel 1931 ai suoi risultati sull'incompletezza dell'aritmetica. A questi risultati e ad alcuni dei loro più importanti sviluppi - come il teorema di Tarski sulla verità e quello di Church sull'indecidibilità dell'aritmetica - è dedicato il terzo e conclusivo capitolo. Il volume può costituire la base per un corso annuale oppure, adeguatamente modulato, per corsi semestrali o seminari di approfondimento. Ma la trattazione estremamente lineare e particolareggiata ne fa una lettura introduttiva utile per chiunque voglia familiarizzarsi con questa importante area della ricerca logica.